Definición formal (la más importante)
Un protocolo ZKP para un lenguaje $L$ cumple:
- Existe un prover $P$ y un verifier $V$
Se define así:
$$ \forall x \in L,\ \exists w:\ R(x, w) = 1 $$Donde:
- $x$ = instancia pública
- $w$ = witness (secreto)
- $R(x,w)$ = relación verificable (circuito)
Las 3 propiedades clave
1. Completitud
Si el prover es honesto:
$$ \Pr[V(x) = \text{accept}] = 1 $$2. Solidez (Soundness)
Si el prover NO conoce el secreto:
$$ \Pr[V(x) = \text{accept}] \leq \epsilon $$($\epsilon$ es muy pequeño)
3. Cero conocimiento (Zero-Knowledge)
$$ \text{View}_V(P(x,w)) \approx S(x) $$El verificador no aprende nada nuevo
Forma práctica usada en ZKP modernos
$$ \text{Probar: } \exists w \ \text{tal que} \ C(x, w) = 0 $$- $C$ = circuito
- $x$ = inputs públicos
- $w$ = inputs privados
Ejemplo concreto
$$ \text{Demostrar que conoces } x \text{ tal que } H(x) = y $$Sin revelar $x$
Versión tipo SNARK
$$ \pi = \text{Prove}(pk, x, w) $$ $$ \text{Verify}(vk, x, \pi) = \text{true} $$- $pk$ = proving key
- $vk$ = verification key
- $\pi$ = proof
Resumen
$$ \exists w:\ R(x,w)=1 $$Demostrar que sabes $w$ sin revelarlo
QAP (Quadratic Arithmetic Programs)
1. Circuito a polinomios
$$ C(x, w) = 0 $$- $A_i(x)$
- $B_i(x)$
- $C_i(x)$
Vector:
$$ a = (a_1, a_2, ..., a_n) $$2. Fórmula central del QAP
$$ \left( \sum_i a_i A_i(x) \right)\left( \sum_i a_i B_i(x) \right) - \left( \sum_i a_i C_i(x) \right) = H(x) \cdot Z(x) $$3. Polinomio Z(x)
$$ Z(x) = (x - r_1)(x - r_2)\cdots(x - r_n) $$Ejemplo completo
Demostrar que conoces $x$ tal que:
$$ x \cdot x = y $$1. Circuito
$$ x \cdot x - y = 0 $$2. Vector
$$ a = [1, x, y] $$3. R1CS
$$ (A \cdot a)(B \cdot a) = (C \cdot a) $$Con:
- $A = [0,1,0]$
- $B = [0,1,0]$
- $C = [0,0,1]$
4. QAP
$$ (x)(x) - y = H(t)\cdot Z(t) $$5. Z(t)
$$ Z(t) = (t - r_1) $$6. Condición
$$ x^2 - y = 0 $$Resumen final
Esto equivale a decir:
👉 “sé la raíz cuadrada de $y$” sin revelarla
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